FUNGSI

Fungsi Dan Grafik Kuadrat

FUNGSI KUADRAT

Fungsi kuadrat adalah suatu persamaan dari variabel yang mempunyai pangkat tertinggi dua. Fungsi ini berkaitan dengan persamaaan kuadrat.

Bentuk umum persamaan kuadrat adalah:

 ax2 + bx + c = 0

Sedangkan bentuk umum dari fungsi kuadrat adalah:

f(x) = ax2 + bx + c

Dengan a, b, merupakan koefisien, dan c adalah konstanta, serta .

Fungsi kuadrat f(x) dapat juga ditulis dalam bentuk y atau:

y = ax2 + bx + c

Dengan x adalah variable bebas dan y adalah variable terikat. Sehingga nilai y tergantung pada nilai x, dan nilai-nilai x tergantung pada area yang ditetapkan. Nilai y diperoleh dengan memasukan nilai-nilai x kedalam fungsi.

Jenis-Jenis Fungsi Kuadrat

1. Jika pada y = ax2 + bx + c nilai b dan c adalah 0, maka fungsi kuadrat menjadi:

    y = ax2

yang membuat grafik pada fungsi ini simetris pada x = 0 dan memiliki nilai puncak di titik (0,0)

2. Jika pada y = ax2 + bx + c nilai b bernilai 0, maka fungsi kuadrat akan berbentuk:

    y = ax2 + c

yang membuat grafik pada fungsi ini simetris pada x = 0 dan memiliki titik puncak di (0,c)

3. Jika titik puncak ada di titik (h,k), maka fungsi kuadrat menjadi:

     y = a(x – h)2 + k

dengan hubungan a, b, dan c dengan h, k adalah sebagai berikut:

Fungsi kuadrat dapat dibentuk dari beberapa komponen seperti berikut:

1. Jika diketahui suatu fungsi kuadrat memiliki titik balik (p, q) maka dapat diperoleh persamaan parabola:

2. Jika diketahui dua titik potong fungsi terhadap sumbu X di (x₁, 0) dan (x₂, 0) maka dapat diperoleh persamaan parabola:

3. Jika diketahui fungsi kuadrat menyinggung sumbu X di (p, 0) maka dapat diperoleh persamaan parabola:

4. Jika diketahui fungsi kuadrat melewati tiga titik sembarang maka dapat diperoleh persamaan parabola:

di mana nilai a, b, dan c dapat ditentukan menggunakan metode eliminasi atau substitusi.

GRAFIK FUNGSI 

Karakteristik grafik berdasarkan nilai determinan:

1. Jika D > 0 maka persamaan kuadrat memiliki dua akar real berbeda (artinya, grafik akan memotong sumbu x pada dua titik).
2. Jika D = 0 maka persamaan kudrat memiliki dua akar real kembar (artinya, grafik akan memotong sumbu x pada satu titik).
3. Jika D < 0 maka persamaan kuadrat memiliki akar yang imaginer/tidak real/akar negatif (artinya, grafik tidak memotong sumbu x).

Nilai a (koefisien dari x2) dapat memberi gambaran grafik fungsi kuadrat tersebut terbuka ke atas atau ke bawah. Karakteristik grafik berdasarkan nilai a:

1. Jika a > 0 maka grafik akan terbuka ke atas.
2. Jika a < 0 maka grafik akan terbuka ke bawah.

Gambaran umum Grafik fungsi kuadrat jika dilihat dari nilai a dan D

 Langkah-langkah menggambar grafik fungsi kuadrat:

1. Tentukan titik potong dengan sumbu x (nilai y atau f(x) sama dengan 0).
2. Tentukan titik potong dengan sumbu y (nilai x = 0).
3. Menentukan sumbu simetri .
4. Menentukan titik puncak (, ) atau hitung nilai puncak y menggunakan substitusi/mengganti nilai x yang diperoleh pada perhitungan nomor 3 ke dalam persamaan f(x).
Empat langkah diatas sudah dapat digunakan untuk menggambar grafik persamaan kuadrat, jika perlu bisa menambahkan beberapa titik koordinat bantu.
CONTOH SOAL :
1. Grafik fungsi y = x2 - 4x + a tidak memotong sumbu X di dua titik jika . . . .
Pembahasan:
Fungsi y = x2 - 4x + a, koefisien-koefisiennya a = 1, b = -4, dan c = a memotong sumbu X di dua titik. Berarti kemungkinannya:
1) Tidak memotong memotong sama sekali => D < 0
2) Menyinggung sumbu X => D = 0
Sehingga syarat yang dipenuhi adalah D ≤ 0
⇔ b2 - 4ac ≤ 0
⇔ (-4)2 - 4(1)(a) ≤ 0
⇔ 16 - 4a ≤ 0
⇔ 16 ≤ 4a
⇔ 4 ≤ a
⇔ a  ≥ 4
2. Jika gambar di bawah ini adalah grafik fungsi kuadrat f dengan titik puncak (-2,0) dan melalui titik (0,-4) maka nilai f(-5) adalah …

Jawab:
Diketahui titik puncak ( xp , yp) = (-2,0), melewati titik (x , y) = (0,-4)
Rumus yang sesuai jika diketahui titik puncaknya adalah:
y = f(x) = a(x-xp )2 + yp
Untuk mencari nilai a, maka:
y = f(x) = a(x-xp)2 + yp
y = a(x+2)2 + 0
-4 = a(0+2)2 + 0
-4 = 4a
a = -1
Sehingga akan diperoleh:
f(x) = -(x + 2)2, dengan f(-5)
f(-5) = -(-5 + 2)2 = -9